[Statistics] 기하분포의 평균과 분산 증명

$P(X=x)=(1-p)^{x-1}·p^x$

 

기하분포의 확률은 위와 같습니다.

기하분포의 평균 증명

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$E(X)= \sum_{x=1}^∞xf(x)$

 

그리고 기하분포는 성공할 때 까지의 시행이므로 확률분포에서 평균은 위와 같습니다.

 

이제 평균 공식에다가 식을 대입해보겠습니다.

 

$E\left(X\right)=\sum_{x=1}^∞x·(1-p)^{x-1}·p$

 

여기서$x·(1-p)^{x-1}= -\frac{d}{dp}(1-p)^x$가 성립합니다.

따라서,

 

$E\left(X\right)=\sum_{x=1}^∞-\frac{d}{dp}(1-p)^x·p$

 

$E\left(X\right)= -p\sum_{x=1}^∞\frac{d}{dp}(1-p)^x$

 

이제 무한 등비급수 공식에 의해,

 

$E\left(X\right)=-p·\frac{d}{dp}\frac{1-p}{1-(1-p)} = -p·\frac{d}{dp}\frac{1-p}{p} = -p·\frac{-p-(1-p)}{p^2}$

 

$E\left(X\right)=\frac{1}{p}$

 

따라서 기하분포의 평균 공식을 증명했습니다.

기하분포의 분산 증명

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$V\left(X\right)=\ E\left(X^2\right)-{E(X)}^2$

 

확률분포에서 분산은 위와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

E(X)의 정보는 알고 있으니 $E\left(X^2\right)$를 구해보겠습니다.

 

$E\left(X^2\right)=\ \sum_{x=1}^{\infty}{x^2f(x)}$

 

여기서 시그마 식 안에 $x^2f(x)이 x^2f(x^2)$이 아닌 이유가 궁금해서 찾아봤는데,

확률변수 $x^2$를 가질 확률을 의미하는 것이 아닌 확률변수 $x$에 대한 확률이기 때문에 $f(x)$로 곱해야 합니다.

 

$E\left(X^2\right)=\sum_{x=1}^{\infty}{x^2f(x)}=\sum_{x=1}^∞x^2·(1-p)^{x-1}·p$

 

$E\left(X^2\right)=\sum_{x=1}^∞x·-\frac{d}{dp}(1-p)^x·p=-p\frac{d}{dp}\sum_{x=1}^∞x·(1-p)^x$

 

평균에서 구했던 공식으로 식을 변형했습니다.

 

$\sum_{x=1}^{\infty}{\left(1-p\right)^x=}\frac{1-p}{p}$

 

우선 무한등비급수에 의해 위 식이 성립합니다.

 

$\frac{d}{dp}\sum_{x=1}^{\infty}{\left(1-p\right)^x=}-\sum_{x=1}^{\infty}{x\left(1-p\right)^{x-1}=}-\sum_{x=1}^{\infty}{x\left(1-p\right)^{x-1}}$

 

이제 무한등비급수의 식을 미분해줍니다.

 

이것이 성립하는 이유는 생략하겠습니다. (테일러 전개)

 

① : $\frac{d}{dp}\sum_{x=1}^{\infty}\left(1-p\right)^x=\ -\sum_{x=1}^{\infty}{x\left(1-p\right)^{x-1}}=-\frac{1}{1-p}\sum_{x=1}^{\infty}{x\left(1-p\right)^x}$

 

②: $\frac{d}{dp}\sum_{x=1}^{\infty}\left(1-p\right)^x=\frac{d}{dp}\frac{1-p}{p}=-\frac{1}{p^2}$

무한 등비급수를 구한 후 미분한 값입니다.

 

$-\frac{1}{1-p}\sum_{x=1}^{\infty}{x\left(1-p\right)^x}=-\frac{1}{p^2}$

 

이제 ①=②를 이용하여

 

$-\frac{1}{1-p}\sum_{x=1}^{\infty}{x\left(1-p\right)^x}=-\frac{1}{p^2}$

 

따라서 $\sum_{x=1}^{\infty}{x\left(1-p\right)^x}=\ \frac{1-p}{p^2}$를 만족합니다.

 

$E\left(X^2\right)=\sum_{x=1}^∞x·-\frac{d}{dp}(1-p)^x·p=-p\frac{d}{dp}\sum_{x=1}^∞x·(1-p)^x$

 

$E\left(X^2\right)=-p\frac{d}{dp}\sum_{x=1}^∞x·(1-p)^x= -p\frac{d}{dp}\frac{1-p}{p^2}=-p·\frac{-p^2-2p(1-p)}{p^4}=\frac{2-p}{p^2}$

 

이제 식을 대입하고 구해줍니다.

 

$V\left(X\right)=\ E\left(X^2\right)-{E\left(X\right)}^2=\frac{2-p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\ \frac{1-p}{p^2}$

 

따라서 기하분포의 분산 공식을 증명했습니다.