[Statistics] 음이항분포의 평균과 분산 증명

$P\left(X=x\right)=\binom{x-1}{k-1}p^k·(1-p)^{x-k}$
음이항분포의 확률은 위와 같습니다.

 

음이항분포의 평균 증명

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$E\left(X\right)=\ \sum_{x=k}^{\infty}xf\left(x\right)$

 

여기서 x=k부터인 이유는 x는 적어도 k번 성공해야 하기 때문에 최소 k부터 시작합니다.

예를 들어, 최소 3번은 성공해야 하는 시나리오에서는 시행을 2번 시행만에 3번의 성공을 할 수 없기 때문입니다.

 

$E\left(X\right)=\sum_{x=k}^∞x·\binom{x-1}{k-1}p^k·(1-p)^{x-k}$

 

$E\left(X\right)=\sum_{x=k}^∞\binom{x}{k}·k·p^{k+1}·\frac{1}{p}·(1-p)^{x-k}$

 

x와 k를 Combination안에 적용시켜줍니다.

그리고 p는 분리해줍니다.

 

$E\left(X\right)=\frac{k}{p}\sum_{x=k}^∞\binom{x}{k}p^{k+1}·(1-p)^{x-k}$

 

$E(X)$는 위와 같고 확률을 다시 보겠습니다.

 

$P\left(X=x\right)=\binom{x-1}{k-1}p^k·(1-p)^{x-k}$

 

x의 시행에서 x-1의 시행 중 k-1번의 성공을 하고 x-k번 실패하는 확률입니다. (x번째 성공은 확정)

 

$P\left(X=x+1\right)=\binom{x}{k}·p^{k+1}·(1-p)^{x-k}$

 

다시, x+1의 시행에서 x의 시행 중 k번의 성공을 하고 x-k번 실패하는 확률입니다. (x+1번째 성공은 확정)

 

이 사실을 이용하면,

 

$\sum_{x=k}^∞\binom{x}{k}p^{k+1}·(1-p)^{x-k} = \sum_{x=k}^∞P(X = x+1)$

 

다시 위의 식을 살펴보면, 

x=k일 때, k+1의 시행 중 k번 성공하고 0번의 실패하는 확률 (k+1번째은 성공 확정)
x=k+1일 때, k+2의 시행 중 k번 성공하고 1번의 실패하는 확률 (k+2번째은 성공 확정)
x=k+2일 때, k+3의 시행 중 k번 성공하고 2번의 실패하는 확률 (k+3번째은 성공 확정)

즉, 시그마의 모든 합은 x의 시행횟수가 정해지지 않은 상태이므로 k번 성공할 확률의 모든 경우의 수가 됩니다.

 

$\sum_{x=k}^∞\binom{x}{k}p^{k+1}·(1-p)^{x-k} = \sum_{x=k}^∞P(X = x+1) = 1$

 

따라서

 

$E\left(X\right)=\frac{k}{p}\sum_{x=k}^∞\binom{x}{k}p^{k+1}·(1-p)^{x-k} = \frac{k}{p}$

 

음이항분포의 평균 공식을 증명했습니다.

 

음이항분포의 분산 증명

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$V\left(X\right)=\ E\left(X^2\right)-{E(x)}^2$

 

확률분포에서 분산은 위와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$E(X^2) = \sum^∞_{x=k}x^2·\binom{x-1}{k-1}·p^k·(1-p)^{x-k}$

 

$E(X^2) = \sum^∞_{x=k}xk·\binom{x}{k}·p^{k+1}·\frac{1}{p}·(1-p)^{x-k}$

 

$E(X^2) = \frac{k}{p}\sum^∞_{x=k}x·\binom{x}{k}·p^{k+1}·(1-p)^{x-k}$

 

여기 까지는 평균을 구할 때와 같은 방법으로 식을 변형했습니다.

 

$E(X^2) = \frac{k}{p}\sum^∞_{x=k}(x+1-1)·\binom{x}{k}·p^{k+1}·(1-p)^{x-k}$

 

이제 x를 x+1-1로 변형해줍니다.

 

$E(X^2) = \frac{k}{p}\sum^∞_{x=k}(x+1)·\binom{x}{k}·p^{k+1}·(1-p)^{x-k} - \frac{k}{p}\sum^∞_{x=k}(1)·\binom{x}{k}·p^{k+1}·(1-p)^{x-k} $

 

$E(X^2) = \frac{k}{p^2}(k+1)\sum^∞_{x=k}\binom{x+1}{k+1}·p^{k+2}·(1-p)^{x-k} - \frac{k}{p}$

 

우항의 2번째 식은 평균이 되고 1번째 식은 다시 변형해주었습니다.

결국, 첫 번째 식의 시그마식은 위에서 증명한 바와 같이 1이 됩니다.

 

$E(X^2) = \frac{k}{p^2}(k+1) - \frac{k}{p}$

 

$V(X) = E(X^2)-E(X)^2 = \frac{k}{p^2}(k+1) - \frac{k}{p} - \frac{k^2}{p^2} = \frac{k(1-p)}{p^2}$

 

따라서 음이항분포의 분산 공식을 증명했습니다.